题目内容
定义在D={x∈R|x≠0}上的函数f（x）满足两个条件：①对于任意x、y∈D，都有f（x）f（y）-f（xy）=
；②曲线y=f（x）存在与直线x+y+1=0平行的切线．
（Ⅰ）求过点（-1，
）的曲线y=f（x）的切线的一般式方程；
（Ⅱ）当x∈（0，+∞），n∈N+时，求证：fn（x）-f（xn）≥2n-2．
| x2+y2 |
| xy |
（Ⅰ）求过点（-1，
| 1 |
| 4 |
（Ⅱ）当x∈（0，+∞），n∈N+时，求证：fn（x）-f（xn）≥2n-2．
分析：（Ⅰ）令x=y=1，可求得f（1）=2，从而可求得f（x）=x+
，设过点（-1，
）的切线切曲线y=f（x）于（x0，x0+
），则切线的斜率为1-
，于是可求得切线方程，将点（-1，
）的坐标代入方程即可求得x0，从而可得过点（-1，
）的曲线y=f（x）的切线的一般式方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x+
，当n∈N*时，fn（x）-f（xn）=(x+
)n-（xn+
），利用二项式定理将(x+
)n展开，采用倒序相加法可求得2（fn（x）-f（xn）），再利用基本不等式即可证得结论．
| 1 |
| x |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| x0 |
| 1 |
| x02 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x+
| 1 |
| x |
| 1 |
| x |
| 1 |
| xn |
| 1 |
| x |
解答：解：（Ⅰ）令x=y=1得，f2（1）-f（1）=2，解得f（1）=-1或f（1）=2．
当f（1）=-1时，令y=1得，f（x）=-
，即f（x）=-
（x+
），
f′（x）=-
（1-
），
由f′（x）=-1得，x2=-1，此方程在D上无解，这说明曲线y=f（x）不存在与直线x+y+1=0平行的切线，不合题意，
则f（1）=2，此时，令y=1得，f（x）=
=x+
，f′（x）=1-
，
由f′（x）=-1得，x2=
，此方程在D上有解，符合题意．
设过点（-1，
）的切线切曲线y=f（x）于（x0，x0+
），则切线的斜率为1-
，
其方程为y-x0-
=（1-
）（x-x0），把点（-1，
）的坐标代入整理得，
5x02-8x0-4=0，解得x0=-
或x0=2，
把x0=-
或x0=2分别代入上述方程得所求的切线方程是：y=-
x-5和y=
x+1，
即21x+4y+20=0和3x-4y+4=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x+
，当n∈N*时，
fn（x）-f（xn）=(x+
)n-（xn+
）
=
xn-1•
+
xn-2•
+…+
x2•
+
x•
=
xn-2+
xn-4+…+
+
，
由x∈（0，+∞），n∈N*知，xn∈（0，+∞），那么
2（fn（x）-f（xn））=
xn-2+
xn-4+…+
+
+
+
+…+
xn-4+
xn-2
=
xn-2+
xn-4+…+
+
+
+
+…+
xn-4+
xn-2
=
（xn-2+
）+
（xn-4+
）+…+
（xn-2+
）
≥2
+2
+…+2
）
=2（
+
+…+
）
=2[（
+
+
+…+
+
）-
-
）]
=2（2n-2）
所以fn（x）-f（xn）≥2n-2．
当f（1）=-1时，令y=1得，f（x）=-
| x2+1 |
| 2x |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| x |
f′（x）=-
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| x2 |
由f′（x）=-1得，x2=-1，此方程在D上无解，这说明曲线y=f（x）不存在与直线x+y+1=0平行的切线，不合题意，
则f（1）=2，此时，令y=1得，f（x）=
| x2+1 |
| x |
| 1 |
| x |
| 1 |
| x2 |
由f′（x）=-1得，x2=
| 1 |
| 2 |
设过点（-1，
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| x0 |
| 1 |
| x02 |
其方程为y-x0-
| 1 |
| x0 |
| 1 |
| x02 |
| 1 |
| 4 |
5x02-8x0-4=0，解得x0=-
| 2 |
| 5 |
把x0=-
| 2 |
| 5 |
| 21 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
即21x+4y+20=0和3x-4y+4=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x+
| 1 |
| x |
fn（x）-f（xn）=(x+
| 1 |
| x |
| 1 |
| xn |
=
| C | 1 n |
| 1 |
| x |
| C | 2 n |
| 1 |
| x2 |
| C | n-2 n |
| 1 |
| xn-2 |
| C | n-1 n |
| 1 |
| xn-1 |
=
| C | 1 n |
| C | 2 n |
| C | n-2 n |
| 1 |
| xn-4 |
| C | n-1 n |
| 1 |
| xn-2 |
由x∈（0，+∞），n∈N*知，xn∈（0，+∞），那么
2（fn（x）-f（xn））=
| C | 1 n |
| C | 2 n |
| C | n-2 n |
| 1 |
| xn-4 |
| C | n-1 n |
| 1 |
| xn-2 |
+
| C | n-1 n |
| 1 |
| xn-2 |
| C | n-2 n |
| 1 |
| xn-4 |
| C | 2 n |
| C | 1 n |
=
| C | 1 n |
| C | 2 n |
| C | n-2 n |
| 1 |
| xn-4 |
| C | n-1 n |
| 1 |
| xn-2 |
+
| C | 1 n |
| 1 |
| xn-2 |
| C | 2 n |
| 1 |
| xn-4 |
| C | n-2 n |
| C | n-1 n |
=
| C | 1 n |
| 1 |
| xn-2 |
| C | 2 n |
| 1 |
| xn-4 |
| C | n-1 n |
| 1 |
| xn-2 |
≥2
| C | 1 n |
| C | 2 n |
| C | n-1 n |
=2（
| C | 1 n |
| C | 2 n |
| C | n-1 n |
=2[（
| C | 0 n |
| C | 1 n |
| C | 2 n |
| C | n-1 n |
| C | n n |
| C | 0 n |
| C | n n |
=2（2n-2）
所以fn（x）-f（xn）≥2n-2．
点评：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查不等式的证明，突出二项式定理及倒序相加法与基本不等式的综合运用，属于难题．
练习册系列答案
相关题目
；②曲线y=f（x）存在与直线x+y+1=0平行的切线．
）的曲线y=f（x）的切线的一般式方程；
；②曲线y=f（x）存在与直线x+y+1=0平行的切线．
）的曲线y=f（x）的切线的一般式方程；