Question

各项为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足：．
（1）求a_n；
（2）设函数，c_n=f（2ⁿ+4）（n∈N^*），求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先求出a₁=1，然后求出当n≥2时数列的递推式，由转化成（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，再根据等差数列的知识点求出数列{a_n}的表达式，
（2）根据求出c₁=f（6）=f（3）=a₃=5，c₂=f（8）=f（4）=f（2）=f（1）=a₁=1，再求出数列{c_n}的表达式，最后根据等比数列的求和公式求出
数列{c_n}的前n项和T_n．
解答：解：（1）由，当n=1时，a₁=1，
当n≥2时，，（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0
又数列{a_n}各项为正数，所以当n≥2时，a_n-a_n-1=2，又a₁=1，
∴a_n=2n-1，
（2）由，可以得到c₁=f（6）=f（3）=a₃=5，c₂=f（8）=f（4）=f（2）=f（1）=a₁=1，
当n≥3，n∈N^*时，c_n=f（2ⁿ+4）=f（2^n-1+2）=f（2^n-2+1）=2（2^n-2+1）-1=2^n-1+1，
故当n≥3，n∈N^*时，T_n=5+1+（2²+1）+（2³+1）+…+（2^n-1+1）=2ⁿ+n，
∴．
点评：本题主要考查数列递推式和求数列前n项和的知识点，解答本题的关键是熟练掌握等比和等差数列的性质及其求和公式，特别注意第（2）问数列{c_n}的前n项和T_n的表达式是分段的，本题有一定难度，需要同学们做题时要仔细．