Question

求证：如果一个平面经过一条线段的中点，那么这条线段的两个端点到这个平面的距离相等．

已知：线段AB的中点为O，O∈平面a．

求证：A、B两点到平面a的距离相等．

 

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)当线段在平面a上时，A、B两点显然到平面a的距离相等且为0． (2)当线段AB不在平面a上时，作AA1⊥a，BB1⊥a，A1和B1为垂足，则AA1、BB1分别是A、B到平面a的距离，且AA1∥BB1，AA1、BB1确定平面b，b∩a=A1B1． ∵O∈AB，ABb，∴O∈b，又O∈a．∴O∈A1B1． ∴AA1⊥A1O，BB1⊥B1O． ∵∠AOA1=∠BOB1，AO=BO， ∴Rt△AA1O≌Rt△BB1O．∴AA1=BB1，即线段AB的两个端点到平面a的距离相等． 点评：该题中，证明A1、O、B1三点共线是关键，离开这一点，就无法证明三角形全等．另外，第(1)步有些同学往往漏掉，使证明失掉严谨性．