Question

（2013•郑州一模）选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|2x-1|+|x-2a|．
（I）当a=1时，求f（x）≤3的解集；
（II）当x∈[1，2]时，f（x）≤3恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）去掉绝对值符号即可得出f（x）=|2x-1|+|x-2|=

3x-3，当x≥2时 x+1，当 1 2 ＜x＜2时 -3x+3，当x≤ 1 2 时

，分类讨论f（x）≤3解出即可；
（II）当x∈[1，2]时，f（x）≤3恒成立?|x-2a|≤4-2x恒成立，x∈[1，2]?2x-4≤2a-x≤4-2x恒成立，x∈[1，2]，?

3

2

x-2≤a≤2-

1

2

x恒成立，x∈[1，2]进而可求范围．

解答：解：（I）当a=1时，f（x）=|2x-1|+|x-2|=

3x-3，当x≥2时 x+1，当 1 2 ＜x＜2时 -3x+3，当x≤ 1 2 时

，
①当x＞2时，f（x）＞3；
②当

1

2

≤x≤2时，

3

2

≤f(x)≤3；
③当x＜

1

2

时，f（x）=-3x+3，由-3x+3≤3，解得x≥0，∴0≤x＜

1

2

．
综上可知：0≤x≤2．
故f（x）≤3的解集为{x|0≤x≤2}；
（II）∵x∈[1，2]，∴|2x-1|=2x-1，
由f（x）≤3，可得2x-1+|x-2a|≤3，即|x-2a|≤4-2x，
∵x∈[1，2]，∴4-2x≥0．
∴当x∈[1，2]时，f（x）≤3恒成立?|x-2a|≤4-2x恒成立，x∈[1，2]．
?2x-4≤2a-x≤4-2x恒成立，x∈[1，2]，
?

3

2

x-2≤a≤2-

1

2

x恒成立，x∈[1，2]．
解得a=1．
故实数a的取值范围是a=1．

点评：熟练掌握绝对值不等式的解法、分类讨论的思想方法、等价转化思想等是解题的关键．