Question

11．已知函数f（x）=2sin（x+φ）（0＜φ＜$\frac{π}{2}$），且f（$\frac{π}{3}$）=2．
（1）求φ的值；
（2）若f（θ）+f（-θ）=$\frac{8}{5}$，θ∈（0，$\frac{π}{2}$），求f（2θ-$\frac{π}{6}$）．

Answer 1

分析 （1）由f（$\frac{π}{3}$）=2sin（$\frac{π}{3}$+φ）=2，可解得φ=2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，结合范围0＜φ＜$\frac{π}{2}$，即可求得φ的值．
（2）由f（θ）+f（-θ）=$\frac{8}{5}$，利用两角和与差的正弦函数公式化简可得cosθ的值，结合范围θ∈（0，$\frac{π}{2}$），可求sinθ，利用二倍角公式化简f（2θ-$\frac{π}{6}$）=4sinθcosθ，即可得解．

解答 解：（1）∵f（$\frac{π}{3}$）=2sin（$\frac{π}{3}$+φ）=2．
∴解得：sin（$\frac{π}{3}$+φ）=1，有$\frac{π}{3}$+φ=2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴解得：φ=2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴解得：φ=$\frac{π}{6}$．
（2）∵f（θ）+f（-θ）=$\frac{8}{5}$，
⇒2sin（θ+$\frac{π}{6}$）-2sin（θ-$\frac{π}{6}$）=$\frac{8}{5}$，
⇒4cosθsin$\frac{π}{6}$=2cosθ=$\frac{8}{5}$，
⇒cosθ=$\frac{4}{5}$，
∵θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴可得：sinθ=$\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$=$\frac{3}{5}$．
∴f（2θ-$\frac{π}{6}$）=2sin[（2θ-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=2sin2θ=4sinθcosθ=4×$\frac{4}{5}×\frac{3}{5}$=$\frac{48}{25}$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．