Question

已知函数f（x）=x（ax-1）（a≠0），设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若(-

3

4

，

3

4

)⊆A，则实数a的取值范围是（　　）

• A．(-∞，-2)∪(0，

  1

  2

  )
• B．(-∞，-2]∪(0，

  1

  2

  ]
• C．（-2，0）∪（1，+∞）
• D．[-2，0）∪[1，+∞）

Answer 1

分析：分别讨论a＞0和a＜0，利用不等式之间的关系，求解集，利用条件(-

3

4

，

3

4

)⊆A，确定不等式关系，即可求实数a的取值范围．

解答：解：由f（x+a）＜f（x）得（x+a）[a（x+a）-1]＜x（ax-1），即2a²x+a（a²-1）＜0，
①若a＞0，则不等式等价为x＜

a(1-a2)

2a2

，即x＜

1-a2

2a

，
若(-

3

4

，

3

4

)⊆A，则

1-a2

2a

≥

3

4

，
即2a²+3a-2≤0，解得-2≤a≤

1

2

，
∵a＞0，∴0＜a≤

1

2

．
②若a＜0，则不等式等价为2ax+a²-1＞0，即x＜

1-a2

2a

，
若(-

3

4

，

3

4

)⊆A，则

1-a2

2a

≥

3

4

，
∵a＜0，∴2a²+3a-2≥0，
解得a≤-2或a≥

1

2

，
∴a≤-2．
综上：0＜a≤

1

2

或a≤-2．
故选：B．

点评：本题主要考查了一元一次不等式的解法，以及集合关系的应用，注意要对a进行分类讨论．