Question

已知定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，使得成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界.
下面我们来考虑两个函数：，.
（Ⅰ）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；
（Ⅱ）若，函数在上的上界是，求的取值范围；
（Ⅲ）若函数在上是以为上界的有界函数， 求实数的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）函数在上的值域为，函数在不是有界函数；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

试题分析：（Ⅰ）当时，函数，此时可设，由，那么，所以函数可转化成，易知在上单调递增，从而可求出值域为；故不存在常数，使成立,所以函数在上不是有界函数
（Ⅱ）先求出在上的最大值与最小值，根据，再确定的大小关系，得出上界范围；（Ⅲ）函数在上是以为上界的有界函数，则在上恒成立.将问题转化成而求得.
试题解析：（Ⅰ）当时， 
因为在上递减，所以，即在的值域为.
故不存在常数，使成立,所以函数在上不是有界函数.
（Ⅱ），∵，  ∴在上递减，
∴   即
∵，∴，∴，
∴ ，即
（Ⅲ）由题意知，在上恒成立.
，∴ 在上恒成立
∴
设，，， 由得，
设，, 所以在上递减，在上的最大值为，
又，所以在上递增，
在上的最小值为.
所以实数的取值范围为.