题目内容

设双曲线 $数学公式$ 的右顶点为A，右焦点为F．过点F且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点B，则△AFB的面积为________．

$\text{[math]}$
分析：由双曲线的方程可得a、b的值，进而可得c的值，得到A、F两点的坐标．因此可得设BF的方程为y=± $\text{[math]}$ （x-5），与双曲线的渐近方程联解得到点B的坐标，即可算出△AFB的面积，得到本题答案．
解答：根据题意，得a²=9，b²=16，
∴c= $\text{[math]}$ =5，且A（3，0），F（5，0），
∵双曲线 $\text{[math]}$ 的渐近线方程为y=± $\text{[math]}$ x
∴直线BF的方程为y=± $\text{[math]}$ （x-5），
①若直线BF的方程为y= $\text{[math]}$ （x-5），与渐近线y=- $\text{[math]}$ x交于点B（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）
此时S_△AFB= $\text{[math]}$ |AF|•|y_B|= $\text{[math]}$ •2• $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
②若直线BF的方程为y=- $\text{[math]}$ （x-5），与渐近线y= $\text{[math]}$ x交点B（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
此时S_△AFB= $\text{[math]}$ |AF|•|y_B|= $\text{[math]}$ •2• $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
因此，△AFB的面积为 $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$
点评：本题给出双曲线右顶点为A，过右焦点F与一条渐近线平行的直线，交另一条渐近线于B，求△ABF的面积，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质的知识，属于中档题．