Question

已知不等式

2

(2a+3)cos(θ-

π

4

)+

6

sinθ+cosθ

-2sin2θ＜3a+6对于θ∈[0，

π

2

]恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：设sinθ+cosθ=x，则原不等式可化为：(2a+3)x+

6

x

-2(x2-1)＜3a+6，然后转化成x+

2

x

-a＜0(x∈[1，

2

])恒成立，将a分离出来，从而只要a＞(x+

2

x

)max(x∈[1，

2

])，根据函数的单调性求出(x+

2

x

)max=3(x∈[1，

2

])即可求出a的范围．

解答：解：设sinθ+cosθ=x，则cos(θ-

π

4

)=

2

2

x，sin2θ=x2-1，x∈[1，

2

]
从而原不等式可化为：(2a+3)x+

6

x

-2(x2-1)＜3a+6
即2x2-2ax-3x-

6

x

+3a+4＞0，2x(x+

2

x

-a)-3(x+

2

x

-a)＞0，
(2x-3)(x+

2

x

-a)＞0(x∈[1，

2

])(1)
∴原不等式等价于不等式（1）∵x∈[1，

2

]，∴2x-3＜0
（1）不等式恒成立等价于x+

2

x

-a＜0(x∈[1，

2

])恒成立．
从而只要a＞(x+

2

x

)max(x∈[1，

2

])．
又容易知道f(x)=x+

2

x

在[1，

2

]上递减，∴(x+

2

x

)max=3(x∈[1，

2

])．
所以a＞3．

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，以及换元法的应用，解题的关键是恒等式的转化变形，以及利用函数的单调性求最值，是一道综合题．