Question

15．设数列{a_n}的前n项和是A_n=$\frac{3}{2}$（a_n -1）（n∈N^*），数列{b_n}的通项公式为b_n=4n+3（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若d∈{a₁，a₂，…，a_n ，…}∩{b₁，b₂，…，b_n，…}，则称d为数列{a_n}与{b_n}的公共项，将数列{a_n}与{b_n}的公共项按照它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列{d_n}，证明数列{d_n}的通项公式是d_n=3²ⁿ⁺¹（n∈N^*）；
（3）设数列{d_n}中的第n项是数列{b_n}中的第r项，B_r为数列{b_n}的前r项的和，D_n为数列{d_n}的前n项和，T_n=B_r-D_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）运用递推关系得出*，a_n+1=$\frac{3}{2}$（a_n+1-a_n），n∈N*，即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=3，a₁=3，结合等比数列定义判断即可．
（2）分类判断3²ⁿ⁺¹∈{b_n}．3²ⁿ∉{b_n}．根据集合运算判断数列{a_n}={a_2n}∪{a_2n+1}，得出d_n=3²ⁿ⁺¹．（n∈N^*）；
（3）运用递推关系式得出B_r=$\frac{r（7+4r+3）}{2}$=r（2r+5）=$\frac{{3}^{2n+1}-3}{4}•\frac{{3}^{2n+1}+7}{2}$，D_n=$\frac{27}{1-9}$•（1-9ⁿ）=$\frac{27}{8}$（9ⁿ-1），作差判断化简T_n=B_r-D_n=$\frac{{9}^{2n+1}+4•{3}^{2n+1}-21}{8}$-$\frac{27}{8}$（9ⁿ-1）=$\frac{9}{8}$•3⁴ⁿ$-\frac{11}{8}$•3²ⁿ+$\frac{3}{4}$（a_n）⁴=3⁴ⁿ，即可求解．

解答 解：（1）由A_n=$\frac{3}{2}$（a_n -1）（n∈N^*），可知A_n+1=$\frac{3}{2}$（a_n+1 -1）（n∈N^*），
∴A_n+1-A_n=$\frac{3}{2}$（a_n+1-a_n），n∈N*，a_n+1=$\frac{3}{2}$（a_n+1-a_n），n∈N*，
即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=3，a₁=3，
∴{a_n}为首项为3，公比为3的等比数列
∴a_n=3ⁿ．
（2）∵3²ⁿ⁺¹=3•3²ⁿ=3（4-1）²ⁿ=3[4²ⁿ${-C}_{2n}^{1}$•4^2n-1+…+${C}_{2n}^{2n-1}$•4•（-1）^2n-1+（-1）²ⁿ]=4m+3．
∴3²ⁿ⁺¹∈{b_n}．
而数3²ⁿ=（4-1）²ⁿ=[4²ⁿ${-C}_{2n}^{1}$•4^2n-1+…+${C}_{2n}^{2n-1}$•4•（-1）^2n-1+（-1）²ⁿ]=4k+1，
∴3²ⁿ∉{b_n}．
而数列{a_n}={a_2n}∪{a_2n+1}，
∴d_n=3²ⁿ⁺¹．（n∈N^*）；
（3）由3²ⁿ⁺¹=4r+3，r=$\frac{{3}^{2n+1}-3}{4}$，
∴B_r=$\frac{r（7+4r+3）}{2}$=r（2r+5）=$\frac{{3}^{2n+1}-3}{4}•\frac{{3}^{2n+1}+7}{2}$，D_n=$\frac{27}{1-9}$•（1-9ⁿ）=$\frac{27}{8}$（9ⁿ-1），
∴T_n=B_r-D_n=$\frac{{9}^{2n+1}+4•{3}^{2n+1}-21}{8}$-$\frac{27}{8}$（9ⁿ-1）=$\frac{9}{8}$•3⁴ⁿ$-\frac{11}{8}$•3²ⁿ+$\frac{3}{4}$（a_n）⁴=3⁴ⁿ

点评 本题综合考查了等差数列等比数列的性质，分类的思想判断运用，构造思想的运用，复杂化简运算属于中档题．