Question

已知圆M：x²+（y-2）²=1，设点B，C是直线l：x-2y=0上的两点，它们的横坐标分别是t，t+4（t∈R），点P在线段BC上，过P点作圆M的切线PA，切点为A．
（1）若t=0，MP=

5

，求直线PA的方程；
（2）经过A，P，M三点的圆的圆心是D，求线段DO长的最小值L（t）．

Answer 1

（1）由圆M：x²+（y-2）²=1，得到圆心M（0，2），半径r=1，
设P（2a，a）（0≤a≤2）．
∵M(0，2)，MP=

5

，∴

(2a)2+(a-2)2

=

5

．
解得a=1或a=-

1

5

（舍去）．
∴P（2，1）．由题意知切线PA的斜率存在，设斜率为k．
所以直线PA的方程为y-1=k（x-2），即kx-y-2k+1=0．
∵直线PA与圆M相切，
∴

|-2-2k+1|

1+k2

=1，
解得k=0或k=-

4

3

．
∴直线PA的方程是y=1或4x+3y-11=0；
（2）设f(a)min=f(

t

2

+2)=

5

4

(

t

2

+2)2+(

t

2

+2)+1=

15

16

t2+3t+8
∵PA与圆M相切于点A，∴PA⊥MA．
∴经过A，P，M三点的圆的圆心D是线段MP的中点．
∵M（0，2），∴D的坐标是(a，

a

2

+1)．
设DO²=f（a）．
∴f(a)=a2+(

a

2

+1)2=

5

4

a2+a+1=

5

4

(a+

2

5

)2+

4

5

．
当

t

2

＞-

2

5

，即t＞-

4

5

时，f(a)min=f(

t

2

)=

5

16

t2+

t

2

+1；
当

t

2

≤-

2

5

≤

t

2

+2，即-

24

5

≤t≤-

4

5

时，f(a)min=f(-

2

5

)=

4

5

；
当

t

2

+2＜-

2

5

，即t＜-

24

5

时，f(a)min=f(

t

2

+2)=

5

4

(

t

2

+2)2+(

t

2

+2)+1=

15

16

t2+3t+8
则L(t)=

1 4 5t2+8t+16 ，t＞- 4 5 2 5 5 ，- 24 5 ≤t≤- 4 5 1 4 5t2+48t+128 ，t＜- 24 5

．