Question

如图，曲线是以原点O为中心、为焦点的椭圆的一部分，曲线是以O为顶点、为焦点的抛物线的一部分，A是曲线和的交点，且为钝角，若，.（Ⅰ）求曲线和所在的椭圆和抛物线方程；

（Ⅱ）过作一条与轴不垂直的直线，分别与曲线依次交于B、C、D、E四点，若G为CD中点、H为BE中点，证明为定值，并求出这个定值．

Answer 1

解:（Ⅰ）设椭圆方程为,

则,………2分

设,则,,两式相减得,由抛物线定义可知,则或（舍去）

所以椭圆方程为,抛物线方程为. ……5分

（Ⅱ）设，直线,代入

得：，即,

……………7分

同理，将代入得： ,，…9分

所以＝

为定值