Question

设点P是曲线y=x²-lnx上的任意一点，则点P到直线y=x-1的最小距离为

2

2

．

Answer 1

分析：对曲线y进行求导，求出点p的坐标，分析知道过点p直线与直线y=x-1平行且与曲线相切于点p，从而求出p点坐标，根据点到直线的距离进行求解；

解答：解：∵点P是曲线y=x²-lnx上的任意一点，求点P到直线y=x-1的最小距离，
∴y′=2x-

1

x

（x＞0），
令y′=2x-

1

x

=1，解得x=1或x=-

1

2

（舍去），
∴x=1，
当x=1，y=1，点p（1，1），
此时点p到直线y=x-1的最小距离d_min=

|1-1-1|

2

=

2

2

．
故答案为

2

2

；

点评：此题主要考查导数研究曲线上某点的切线方程以及点到直线的距离公式，利用了导数与斜率的关系，这是高考常考的知识点，此题是一道基础题；