Question

（2009•海淀区二模）数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=（λ-3）a_n+2ⁿ，（n=1，2，3…）．
（Ⅰ） 当a₂=-1时，求实数λ及a₃；
（Ⅱ）是否存在实数λ，使得数列{a_n}为等差数列？若存在，求出其通项公式，若不存在，说明理由；
（Ⅲ）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据a₁=2，a₂=-1，而a₂=（λ-3）a₁+2，解之即可求出λ，根据a_n+1=（λ-3）a_n+2ⁿ可求出a₃的值；
（Ⅱ）根据首项a₁，与递推关系a_n+1=（λ-3）a_n+2ⁿ求出a₂，a₃，若数列{a_n}为等差数列，则a₁+a₃=2a₂可得关于λ的方程即可判定是否存在实数λ；
（Ⅲ）根据a_n+1=（λ-3）a_n+2ⁿ，a₁=2，若λ=3，则a_n=2^n-1（n≥2），若λ≠3，则a_n=（λ-3）a_n-1+2^n-1=（λ-3）^n-1•2+（λ-3）^n-2•2+（λ-3）^n-3•2²+…+（λ-3）•2^n-2+2^n-1（n≥2）等式右边是从第二项起，是一个首项为2（λ-3）^n-2，公比为

2

λ-3

的等比数列，如果

2

λ-3

=1，即λ=5时，求出a_n，如果

2

λ-3

≠1，即λ≠5时，利用等比数列求和公式进行求解即可．

解答：解：（Ⅰ）∵a₁=2，a₂=-1，a₂=（λ-3）a₁+2，
∴λ=

3

2

，故a₃=-

3

2

a2+2 ，
所以a₃=

11

2

．…（3分）
（Ⅱ）∵a₁=2，a_n+1=（λ-3）a_n+2ⁿ
∴a₂=（λ-3）a₁+2=2λ-4…（4分）
a₃=（λ-3）a₂+4=2λ²-10λ+16…（5分）
若数列{a_n}为等差数列，则a₁+a₃=2a₂∴λ²-7λ+13=0…（6分）
∵△=49-4×13＜0∴方程没有实根，…（7分）
故不存在实数λ，使得数列{a_n}为等差数列．…（8分）
（Ⅲ）∵a_n+1=（λ-3）a_n+2ⁿ，a₁=2
若λ=3，则a_n=2^n-1（n≥2）；                       …（9分）
若λ≠3，∴a_n=（λ-3）a_n-1+2^n-1
=（λ-3）[（λ-3）a_n-2+2^n-2]+2^n-1
=（λ-3）{（λ-3）[（λ-3）a_n-3+2^n-3]+2^n-2}+2^n-1
…
=（λ-3）^n-1a₁+（λ-3）^n-2•2+（λ-3）^n-3•2²+…+（λ-3）•2^n-2+2^n-1
=（λ-3）^n-1•2+（λ-3）^n-2•2+（λ-3）^n-3•2²+…+（λ-3）•2^n-2+2^n-1
（n≥2）…（11分）
则数列（λ-3）^n-1•2，（λ-3）^n-2•2，（λ-3）^n-3•2²，…，（λ-3）•2^n-2，2^n-1
从第二项起，是一个首项为2（λ-3）^n-2，公比为

2

λ-3

的等比数列．
如果

2

λ-3

=1，即λ=5时，a_n=2（5-3）^n-1+（n-1）（5-3）^n-2•2=2ⁿ+（n-1）2^n-1=（n+1）•2^n-1；
当n=1时也成立．
如果

2

λ-3

≠1，即λ≠5时，an=2(λ-3)n-1+

2•(λ-3)n-2[1-( 2 λ-3 )n-1]

1- 2 λ-3

=2(λ-3)n-1+

(λ-3)n-1•2-2n

λ-5

=

2λ-8

λ-5

(λ-3)n-1-

2n

λ-5

当n=1时也成立．
故数列{a_n}的通项公式为：当λ=3时，a_n=

2n-1n≥2 2n=1

；
当λ=5时，a_n=（n+1）•2^n-1；
当λ≠5且λ≠3时，a_n=

2λ-8

λ-5

(λ-3)n-1-

2n

λ-5

．…（14分）
说明：其他正确解法按相应步骤给分．

点评：本题主要考查了数列的递推关系，以及等比数列求和公式，同时考查了分类讨论的数学思想，该题有一定的难度．