Question

已知圆M过A（1，-1），B（-1，1）两点，且圆心M在x+y-2=0上．
（1）求圆M的方程；
（2）点C（x，y）是圆M上任意一点，求

y-1

x+1

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设圆心为（a，b）且半径为r，得到圆的标准方程，根据题意建立关于a、b、r的方程组，解之即可得到圆M的标准方程；
（2）由直线的斜率公式，可得

y-1

x+1

=k表示B、C两点连线的斜率．因此将点C在圆M上运动并观察直线BC倾斜角的变化，利用直线斜率与倾斜角的关系加以计算，即可得到

y-1

x+1

的取值范围．

解答：解：（1）设圆M的方程为：（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0），
根据题意得

a+b-2=0 (1-a)2+(-1-b)2=r2 (-1-a)2+(1-b)2=r2

，解之得a=b=1且r=2，
∴圆M的方程为：（x-1）²+（y-1）²=4；
（2）∵点B的坐标为（-1，1），而C（x，y），
∴由直线的斜率公式，可得

y-1

x+1

=k表示B、C两点连线的斜率．
当点C在圆M上运动时，观察直线BC斜率的变化，
可得直线BC的倾斜角α可以是锐角、直角或钝角，即在[0，π）内变化
∴k=tanα∈（-∞，+∞），即直线BC的斜率为任意实数．
因此，

y-1

x+1

的取值范围为（-∞，+∞）．

点评：本题给出圆M满足的条件，求圆M的方程并讨论直线的斜率取值范围．着重考查了直线的基本量与基本形式、圆的标准方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．