Question

已知圆M：（x-1）²+y²=1，A（

1

2

，

5

2

），B（0，t），C（0，t-4）（其中0＜t＜4）．
（1）过点A的直线l被圆M截得的弦长为

3

，求直线l的方程；
（2）若直线PB，PC都是圆M的切线，且点P在y轴右侧，求△PBC面积的最小值．

Answer 1

分析：（1）分类讨论：斜率不存在时成立；斜率存在时，先求弦心距，再利用弦长可求斜率，从而可求方程；
（2）由于BC长度一定，故求△PBC面积的最小值，即求P的横坐标的最小值，利用PB，PC是圆的切线，可求P的坐标，根据已知，可求其最小值．

解答：解：（1）①当l⊥x轴时，l的方程为x=

1

2

，满足题意．
②当l与x轴不垂直时，设l：y-

5

2

=k（x-

1

2

），即kx-y+

5+k

2

=0．
所以圆心M到l的距离d=

|k+ 5-k 2 |

k2+1

，
又直线被圆所截弦长为

3

，则d=

12-( 3 2 )2

=

1

2

，
所以

|k+ 5-k 2 |

k2+1

=

1

2

，解得：k=-

12

5

，所以l：12x+5y-

37

2

=0．
综上，直线l的方程为x=

1

2

，或24x+10y-37=0．
（2）设PB的斜率为k，则PB：y=kx+t，即kx-y+t=0．
因为PB与圆M相切，所以 

|k+t|

k2+1

=1，得k=

1-t2

2t

．
所以PB：y=

1-t2

2t

x+t． 同理可得PA：y=

1-(t-4)2

2(t-4)

x+t-4．
由

y= 1-t2 2t x+t y= 1-(t-4)2 2(t-4) x+t-4.

解得x_P=

2t2-8t

t2-4t+1

．
由

2

xp

=

t2-4t+1

t2-4t

=1+

1

t2-4t

．
因为0＜t＜4，所以0＞t²-4t≥-4，所以

2

xp

≤

3

4

，x_P≥

8

3

．
当t=2时，x_P=

8

3

，此时S_△ABC=

16

3

．
所以△PBC面积的最小值为

16

3

．

点评：本题以圆为载体，考查圆的切线方程，考查直线与圆的位置关系，有一定的综合性．