Question

已知数列{a_n}与{b_n}满足bn+1an+bnan+1=(-2)n+1，bn=

3+(-1)n-1

2

，n∈N*，且a1=2．
（Ⅰ）求a₂，a₃的值；
（Ⅱ）设c_n=a_2n+1-a_2n-1，n∈N^*，证明{c_n}是等比数列．

Answer 1

分析：（1）由题意可得bn=

2，n为奇数 1，n为偶数

，结合题意分别令n=1，n=2即可得到答案．
（Ⅱ）由题意可得：a_2n-1+2a_2n=-2^2n-1+1，2a_2n+a_2n+1=2²ⁿ+1两个式子相减即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）由bn=

3+(-1)n-1

2

，n∈N*，可得bn=

2，n为奇数 1，n为偶数

又因为b_n+1a_n+b_na_n+1=（-2）ⁿ+1，
当n=1时，a1+2a2=-1，由a1=2，可得a2=-

3

2

；
当n=2时，2a₂+a₃=5，可得a₃=8．
（Ⅱ）证明：对任意n∈N^*都有：a_2n-1+2a_2n=-2^2n-1+1…①
并且有：2a_2n+a_2n+1=2²ⁿ+1…②
②-①，得a_2n+1-a_2n-1=3×2^2n-1，即c_n=3×2^2n-1，
于是

cn+1

cn

=4，
所以{c_n}是等比数列．

点评：本题考查利用赋值法求数列的项，以及考查等比数列的定义．