Question

设函数f（x）=|2x+1|-|x-4|．则不等式f（x）＞2的解集是（　　）

• A．{x|-7＜x＜

  5

  3

  }
• B．{x|x＜-7，或x＞

  5

  3

  }
• C．{x|x＜-7，或x≥4}
• D．{x|x≤-

  1

  2

  ，或x＞

  5

  3

  }

Answer 1

分析：根据绝对值的代数意义，去掉函数f（x）=|2x+1|-|x-4|中的绝对值符号，求解不等式f（x）＞2，画出函数函数f（x）的图象，根据图象求得函数f（x）的最小值．

解答：解：∵函数f（x）=|2x+1|-|x-4|=

-x-5 ， x＜- 1 2 3x-3 ， - 1 2 ≤x≤4 x+5 ，x＞4

 
故由不等式f（x）＞2可得 ①

-x-5＞2 x＜- 1 2

，或 ②

3x-3＞2 - 1 2 ≤x≤4

，或 ③

x+5＞2 x＞4

．
解①可得x＜-7； 解②可得

5

3

＜x≤4；解③可得 x＞4．
综上可得，不等式f（x）＞2的解集为 { x|x＜-7，或x＞

5

3

}，
故选B．

点评：本题主要考查了绝对值的代数意义，去绝对值体现了分类讨论的数学思想；根据函数图象求函数的最值，体现了数形结合的思想，属中档题．