Question

下列函数f（x）中，满足对任意x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁≠x₂，都有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜0的是（　　）

• A、f（x）=（x-1）²
• B、f（x）=

  1

  x

• C、f（x）=e^x
• D、f（x）=ln（x+1）

Answer 1

分析：对任意x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，都有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜0，说明对应的函数在（0，+∞）是一个减函数，故问题转化为判断四个函数单调性的问题，根据函数的解析式进行判断即可得到答案．

解答：解：因为对任意x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，都有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜0，故满足条件的函数是一个减函数．
对于A，函数f（x）=（x-1）²在（0，1）是减函数，在（1，+∞）上是增函数，故不满足题意；
对于C，函数f（x）=e^x是一个增函数，故不满足题意；
对于D，函数f（x）=ln（x+1）在（0，+∞）上是增函数，故不满足题意；
对于B，函数f（x）=

1

x

是反比例函数，其在（0，+∞）是一个减函数，满足题意；
故选B．

点评：本题考点是函数的单调性的判断与证明，考查根据已知的性质选择具有所给性质的函数的能力，在一些不要求证明函数单调性的问题中，常利用基本函数的单调性来判断所研究函数的单调性．