题目内容

已知双曲线 $数学公式$ 的离心率为 $数学公式$ ，顶点与椭圆 $数学公式$ 的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为；渐近线方程为．

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ =0
分析：由椭圆的标准方程 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1可求得其焦点坐标为（± $\text{[math]}$ ，0），依题意可求得a= $\text{[math]}$ ，再由双曲线 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1的离心率为 $\text{[math]}$ ，可求得c，继而可求得该双曲线的方程，从而可得其焦点坐标与渐近线方程．
解答：∵椭圆的标准方程为 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1，
∴其焦点坐标为（± $\text{[math]}$ ，0），
∵双曲线 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1的顶点与椭圆 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1的焦点相同，
∴a²=3，
又双曲线 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1的离心率为 $\text{[math]}$ ，
∴e²= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴c²=8，又c²=a²+b²，
∴b²=8-3=5，
∴双曲线的标准方程为 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1．
∴双曲线的焦点坐标为（±2 $\text{[math]}$ ，0），渐近线方程为：y=± $\text{[math]}$ x=± $\text{[math]}$ x，
整理得： $\text{[math]}$ x±3y=0．
故答案为：（±2 $\text{[math]}$ ，0）， $\text{[math]}$ x±3y=0．
点评：本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得双曲线的标准方程是关键，考查理解与运算能力，属于中档题．