Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，点M是棱PC的中点，AM⊥平面PBD．
（1）求PA的长；
（2）求棱PC与平面AMD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，由平面PBD，==0，可得P的竖坐标，
即得到PA的长．
（2）先求出平面AMD的一个法向量n，与法向量n的夹角的余弦值就等于与平面AMD夹角的正弦值．
解答：解：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，a）．
因为M是PC中点，所以M点的坐标为（，，），
所以=（，，），=（-1，1，0），=（-1，0，a）．
（1）因为平面PBD，所以==0．即
-+=0，所以a=1，即PA=1．（4分）
（2）由=（0，1，0），=（，，），
可求得平面AMD的一个法向量n=（-1，0，1）．
又=（-1，-1，1）．所以cos＜n，＞===，故sin＜n，＞=，
所以，PC与平面AMD所成角的正弦值为．（10分）
点评：本题考查线面成的角、面面垂直的性质，两个向量的数量积的定义以及两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的
运算，注意向量CP和平面法向量的夹角的余弦值就等于PC与平面所成角的正弦值，这是解题的易错点．