题目内容

已知双曲线的两条渐近线的夹角为60°，则其离心率为________．

2或 $\text{[math]}$
分析：先由双曲线的两条渐近线的夹角为60°，得双曲线的两条渐近线的斜率± $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，由于不知双曲线的焦点位置，故通过讨论分别计算离心率，由 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，再由双曲线中c²=a²+b²，求其离心率即可
解答：∵双曲线的两条渐近线的夹角为60°，且渐近线关于x、y轴对称，
若夹角在x轴上，则双曲线的两条渐近线的倾斜角为30°，150°，斜率为 $\text{[math]}$
若夹角在y轴上，则双曲线的两条渐近线的倾斜角为60°，120°，斜率为 $\text{[math]}$
①若双曲线的焦点在x轴上，则 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$
∵c²=a²+b²
∴ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ 或e²-1=3
∴e= $\text{[math]}$ 或e=2
②若双曲线的焦点在y轴上，则 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$
∵c²=a²+b²
∴ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ 或e²-1=3
∴e= $\text{[math]}$ 或e=2
综上所述，离心率为2或 $\text{[math]}$
故答案为 2或 $\text{[math]}$
点评：本题考查了双曲线的几何性质，由渐近线的斜率推导双曲线的离心率是解决本题的关键