题目内容

已知函数y=
x
x2+a
的图象在x=0和x=
3
处的切线互相平行，则实数a=
-1
-1
．
分析：由求导公式和法则求出导数，再把x=0、
3
代入求出导数值，再根据直线平行的充要条件建立方程求a．
解答：解：由题意得，y′=
x′(x2+a)-x(x2+a)′
(x2+a)2
=
-x2+a
(x2+a)2
，
把x=0代入得，y′=
1
a
，
把x=
3
代入得，y′=
-3+a
(3+a)2
，
由题意得，
1
a
=
-3+a
(3+a)2
，
解得a=-1．
故答案为：-1．
点评：本题考查了导数的几何意义，即某点处的切线的斜率是该点出的导数值，以及直线平行的充要条件的应用．
练习册系列答案
相关题目
已知x＞0，则函数y=
xx2+2
的最大值是
 
．
已知函数y=
xx2+1

（1）求函数的单调区间；
（2）求函数的极值．
已知函数f(x)=
x
x2+1
．
（1）求出函数y=f（x）的单调区间；
（2）当x∈(-
3
4
，+∞)时，证明函数y=f（x）图象在点(
1
3
，
3
10
)处切线的下方；
（3）利用（2）的结论证明下列不等式：“已知a，b，c∈(-
3
4
，+∞)，且a+b+c=1，证明：
a
a2+1
+
b
b2+1
+
c
c2+1
≤
9
10
”；
（4）已知a1，a2，…，an是正数，且a1+a2+…+an=1，借助（3）的证明猜想
n
k=1
ak
a
2
k
+1
的最大值．（只指出正确结论，不要求证明）
已知函数y=
x
x2+a
的图象在x=0和x=
3
处的切线互相平行，则实数a=______．

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