Question

在△ABC中，acos2

C

2

+ccos2

A

2

=

3

2

b，则（　　）

• A、a，b，c依次成等差数列
• B、b，a，c依次成等差数列
• C、a，c，b依次成等差数列
• D、a，b，c既成等差数列，也成等比数列

Answer 1

分析：根据已知条件，利用三角函数余弦的二倍角公式以及正弦定理逐步化简便可得出a+c=2b，即可求出a、b、c 关系．

解答：解：设R是三角形ABC外接圆半径，
∵acos²

C

2

+ccos²

A

2

=

3

2

b，
∴

a(1+cosC)

2

+

c(1+cosA)

2

=

3

2

b，
即a+acosC+c+ccosA=3b，
即a+c+（acosC+ccosA）=3b
即a+c+（acosC+ccosA）=2b+b
a+c+2R（sinAcosC+sinCcosA）=2b+2RsinB
a+c+2Rsin（A+C）=2b+2RsinB
∵A、B、C在三角形ABC中，
所以sin（A+C）=sinB，
所以a+c+2Rsin（A+C）=2b+2RsinB
得到a+c=2b，
即a，b，c成等差数列，
故选A．

点评：本题主要考查学生对三角函数余弦的二倍角公式、正弦定理以及等差数列性质的熟练掌握，解题时要注重整体思想的运用，望同学们平常多加练习．