Question

正实数x₁，x₂及函数f（x）满足4x=

1+f(x)

1-f(x)

，且f（x₁）+f（x₂）=1，则f（x₁+x₂）的最小值为（　　）

• A、4
• B、2
• C、

  4

  5

• D、

  1

  4

Answer 1

分析：由已知须先求出f（x）的解析式f(x) =

4x-1

4x+1

，然后代入x₁，x₂及f（x₁）+f（x₂）=1可得含有入x₁，x₂的式子
4x1+x2-3=4x1+4x2，再利用均值不等式求出4x1+x2的范围，即可解答f（x₁+x₂）的最小值来．

解答：解：由已知4x=

1+f(x)

1-f(x)

得f(x) =

4x-1

4x+1

，由f（x₁）+f（x₂）=

4x1-1

4x1+1

+

4x2-1

4x2+1

=1
于是可得：

2(4x1 +x2-1)

4x1+x2+4x14x2+1

=1，
所以得：4x1+x2-3=4x1+4x2≥2

4x1+x2

，①
设

4x1+x2

=t，则①式可得：t²-2t-3≥0，又因为t＞0，
于是有：t≥3或t≤-1（舍），从而得

4x1+x2

≥3，即：4x1+x2≥9，
所以得：f（x₁+x₂）=

4x1 +x2-1

4x1+x2+1

=

4x1 +x2+1-2

4x1+x2+1

=1- 

2

4x1+x2+1

≥1-

2

9+1

=

4

5

．
所以有：f（x₁+x₂）的最小值为

4

5

．
故应选：C

点评：本题考查函数最值的求法，指数函数的性质，函数解析式的运算，指数的运算，均值不等式的应用，考查的思想方法较综合，考查学生的运算能力要求较强．