Question

正实数x₁，x₂及函数f（x）满足4x=

1+f(x)

1-f(x)

，且f（x₁）+f（x₂）=1，则f（x₁+x₂）的最小值=

 

．

Answer 1

分析：先解出f（x） 的解析式，根据f（x₁）+f（x₂）=1 可得，4(x1+x2)-3=4x1+4x2，再使用基本不等式可求得
 4(x1+x2)≥9，由此求得f（x₁+x₂）=1-

2

4x1+x2+1

 的最小值．

解答：解：∵4x=

1+f(x)

1-f(x)

，∴f（x）=

4x-1

4x+1

，∵f（x₁）+f（x₂）=1，
∴

4x1-1

4x1+1

+

4x2-1

4x2+1

=1，通分并化为整式得 
 4(x1+x2)-3=4x1+4x2≥2 

4 (x1+x2)

，即 4(x1+x2)≥2

4 (x1+x2)

，
两边同时除以

4 (x1+x2)

 解得  

4 (x1+x2)

≥2，∴4(x1+x2)≥9．
f（x₁+x₂）=

4x1+x2-1

4x1+x2+1

=1-

2

4x1+x2+1

≥1-

2

9+1

=

4

5

，故答案为

4

5

．

点评：本题考查求函数的解析式，指数幂的运算法则，以及基本不等式的应用，属于中档题．