Question

若不等式ax2-2ax＞(

1

a

)x+1 (a≠1)对一切实数x恒成立，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：不等式即  ax2-2ax＞(a )-x-1对一切实数x恒成立．当a＞1时，由单调性知 x²-2ax＞-x-1 恒成立，故有△＜0，解得

3

2

＞a＞1．当1＞a＞0时，应有 x²-2ax+x+1＜0恒成立，由二次函数的性质知，这不可能，进而可得答案

解答：解：∵不等式ax2-2ax＞(

1

a

)x+1 (a≠1)对一切实数x恒成立，即  ax2-2ax＞(a )-x-1对一切实数x恒成立．
当a＞1时，故 x²-2ax＞-x-1 恒成立，∴x²-2ax+x+1＞0 恒成立，
∴△=（1-2a）²-4＜0，∴-

1

2

＜a＜

3

2

，故有 

3

2

＞a＞1．
当1＞a＞0时，故有 x²-2ax＜-x-1 恒成立，∴x²-2ax+x+1＜0恒成立，
由二次函数的性质知，这是不可能的．
综上，a的取值范围为

3

2

＞a＞1，
故答案为 （1，

3

2

）．

点评：本题考查指数函数的单调性和特殊点，一元二次不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想．