Question

设，函数。

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）若对任意，不等式恒成立，求a的最大值；

（Ⅲ）若方程存在三个相异的实数根，求a的取值范围。

Answer 1

（I）解：

，解得，或；令，解得.

从而的单调递增区间为，；单调递减区间为.

                                                              …………3分

（II）解：

由.                                …………4分

由（I）得，函数在，在内单调递减，

从而当时，函数取得最大值.             …………6分

因为对于任意，不等于恒成立，

故，即，

从而的最大值是.                                          …………8分

（III）解：

当变化时，变化情况如下表：

	+	0	-	0	+
		极大值		极小值

①由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；

②当时，解方程，得，即方程只有两个相异的实数根；

③当时，解方程，得，即方程只有两个相异的实数根.

如果方程存在三个相异的实数根，则  解得.

                                                            …………12分

事实上，当时，

，且，

所以方程在内各有一根.

综上，若方程存在三个相异的实数根，则的取值范围是.……14分