Question

在四棱锥P- ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等边三角形，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，E是AD的中点，F是PC的中点，
(Ⅰ)求证：BE⊥平面PAD；
(Ⅱ)求证：EF∥平面PAB；
(Ⅲ)求直线EF与平面PBE所成角的余弦值．

Answer 1

(Ⅰ)证明：∵E是AD的中点，连结PE， ∴AB=2，AE=1， BE2=AB2+AE2-2AB·AE·cos∠BAD=4+1-2×2×1×cos60°=3， ∴AE2+BE2=1+3=4=AB2， ∴BE⊥AE， 又平面PAD⊥平面ABCD，交线为AD， ∴BE⊥平面PAD．  (Ⅱ)证明：取PB中点为H，连接FH，AH， ∵，又因为HF是△PBC的中位线， ∴，∴， ∴AHFE是平行四边形， ∴EF∥AH， 又平面PAB，AH平面PAB， ∴EF∥平面PAB。 (Ⅲ)解：由(Ⅰ)知，BC⊥BE，PE⊥BC， 又PE，BE是平面PBE内两相交直线， ∴BC⊥平面PBE，又由(Ⅱ)知，HF∥BC， ∴FH⊥平面PBE， ∴∠FEH是直线EF与平面PBE所成的角， 易知，， 在Rt△PEB中，， ∴，∴， 故直线EF与平面PBE所成角的余弦值为。