Question

20．已知数列{a_n}满足a₁=$\frac{2}{3}$，a_n+1=$\frac{n}{n+2}$a_n，求通项公式a_n．

Answer 1

分析 由a_n+1=$\frac{n}{n+2}$a_n，可得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{n+2}$，a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}•\frac{{a}_{n-2}}{{a}_{n-3}}$•…•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a₁，即可得出．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{n}{n+2}$a_n，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{n+2}$，
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}•\frac{{a}_{n-2}}{{a}_{n-3}}$•…•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a₁
=$\frac{n-1}{n+1}$$•\frac{n-2}{n}$•$\frac{n-3}{n-1}$•…•$\frac{2}{4}$•$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{3}$
=$\frac{4}{3n（n+1）}$，
∴a_n=$\frac{4}{3n（n+1）}$．

点评 本题考查了“累乘求积”方法、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．