Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）若不等式|f（x）-m|≤2在x∈[0，π]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由图形可确定A，b，求出函数的周期T，从而可得ω的值，再由f（

π

3

）=3，f（-

2π

3

）=-1，进一步结合条件可得φ的值；
（2）通过正弦函数的单调增区间直接求函数f（x）的单调递增区间．
（3）通过x的范围，求出函数值的范围，转化不等式|f（x）-m|≤2，求出实数m的取值范围，

解答：解：（1）由函数的图象可知

A+b=3 -A+b=-1

，解得A=2，b=1，
∴函数f（x）=2sin（ωx+φ）+1．
T=2×[

π

3

+-(-

2π

3

)]=2π，∴ω=

2π

2π

=1．
由f（

π

3

）=3，可得2sin（1×

π

3

+φ）+1=3，
∵|φ|＜

π

2

，
∴φ=

π

6

，
∴函数f（x）的解析式：f（x）=sin（x+

π

6

）+1．
（2）令-

π

2

+2kπ≤x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z
则2kπ-

2π

3

≤x≤

π

3

+2kπ，k∈Z，
∴函数f（x）的单调递增区间为[2kπ-

2π

3

，

π

3

+2kπ]，k∈Z．
（3）∵x∈[0，π]，∴x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，则sin（x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴f（x）∈[0，3]，
不等式|f（x）-m|≤2?m-2≤f（x）≤m+2恒成立．
则需满足：

m-2≤0 m+2≥3

，即1≤m≤2，
实数m的取值范围：[1，2]

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）+b的部分图象确定其解析式，难点在于相位φ的确定，绝对值不等式的解法，属于中档题．