Question

数列{a_n}的各项都是整数，满足a₃=-1，a₇=4，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列，则数列{a_n}前10项的和是

57

．

Answer 1

分析：由题意设数列前6项的公差为d，d为整数，表示出a₅，a₆，利用a₅，a₆，a₇成等比数列，求出d，推出n≤6时等差数列的通项公式，n≥5时数列{a_n}的通项公式，则数列{a_n}前10项的和可求．

解答：解：设数列前6项的公差为d，d为整数，
由a₃=-1，得：a₅=a₃+2d=-1+2d，a₆=a₃+3d=-1+3d，
又a₅，a₆，a₇成等比数列，且a₇=4，
所以（3d-1）²=4（2d-1），解得d=

5

9

或d=1，
因为d为整数，所以d=1．
所以，当n≤6时，a_n=a₃+（n-3）×1=-1+（n-3）=n-4，
由此a₅=1，a₆=2，
又数列从第5项起构成以2为公比的等比数列．
则当n≥5时，a_n=2^n-5，
所以，数列{a_n}前10项的和是：
S₁₀=（a₁+a₂+a₃+a₄+a₅）+（a₆+a₇+a₈+a₉+a₁₀）=

(-3+1)×5

2

+

2(1-25)

1-2

=57．
故答案为57．

点评：本题考查等比数列的判断，通项公式的求法，考查数列的函数的特征，考查了数列的分组求和，注意分类讨论的思想，此题是中档题．