Question

（2013•南充一模）设数列{a_n}的各项都为正数，其前n项和为S_n，已知对任意n∈N^*，S_n是

a

2 n

和a_n的等差中项．
（Ⅰ）证明数列{a_n}为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由S_n是

a

2 n

和a_n的等差中项，知2S_n=an2+an，且a_n＞0，由此能够证明数列{a_n}为等差数列，并能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由a_n=n，则Sn=

n(n+1)

2

，故

1

Sn

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），由此能够证明

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜2．

解答：解：（Ⅰ）∵S_n是

a

2 n

和a_n的等差中项，
∴2S_n=an2+an，且a_n＞0，
当n=1时，2a₁=a12+a₁，解得a₁=1，
当n≥2时，有2S_n-1=an-12+a_n-1，
∴2S_n-2S_n-1=an2-an-12+an-an-1，
即2an=an2-an-12+an-an-1，
∴an2-an-12=a_n+a_n-1，
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）=a_n+a_n-1，
∵a_n+a_n-1＞0，
∴a_n-a_n-1=1，n≥2，
∴数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，且a_n=n．
（Ⅱ）∵a_n=n，
则Sn=

n(n+1)

2

，
∴

1

Sn

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
∴

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]
=2（1-

1

n+1

）＜2．
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜2．

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意裂项求和法的合理运用．