Question

已知函数f（x）=x²-x，g（x）=lnx-f（x）f'（x）
（1）求g（x）的最大值及相应x的值；
（2）对任意的正数x，恒有f(x)+f(

1

x

)≥(x+

1

x

)ln(m2-2m-2)，求实数m的最大值．

Answer 1

解（1）g（x）=lnx-（x²-x）（2x-1）=lnx-2x³+3x²-x，
g′(x)=

1

x

-6x2+6x-1=

(1-x)(6x2+1)

x

，(x＞0)，
当0＜x＜1时，g'（x）＞0；当x＞1时，g'（x）＜0，
所以g（x）在（0，1]上是增函数，在[1，+∞）上是减函数，
所以，当x=1时，g（x）取得最大值g（1）=0；
（2）f(x)+f(

1

x

)≥(x+

1

x

)ln(m2-2m-2)，即(x2-x+

1

x2

-

1

x

)≥(x+

1

x

)ln(m2-2m-2)，
可化为(x+

1

x

)2-2-(x+

1

x

)≥(x+

1

x

)ln(m2-2m-2)①，
因为x＞0，所以x+

1

x

≥2（当x=1时取到等号），
设x+

1

x

=t(t≥2)，①可化为t²-2-t≥tln（m²-2m-2），即ln(m2-2m-2)≤t-

2

t

-1当t≥2时恒成立，
令h(t)=t-

2

t

-1，h′(x)=1+

2

t2

＞0，
所以h（t）在[2，+∞）上是增函数，所以h（t）≥h（2）=0，于是ln（m²-2m-2）≤0，
解不等式0＜m²-2m-2≤1，解得-1≤m＜1-

3

，1+

3

＜m≤3，
所以m的最大值为3．