Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n=2-S_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃，a₄的值并猜想这个数列的通项公式
（Ⅱ）证明数列{a_n}是等比数列．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n=2-S_n，我们依次取n=1，2，3，4，即可求出a₁，a₂，a₃，a₄的值，然后分析所得前4项，分子和分母的分布规律，即可推断出这个数列的通项公式
（Ⅱ）由a_n=2-S_n可得a_n-1=2-S_n-1，两式相减即可判断出数列{a_n}的相邻两项的关系，进而得到数列{a_n}是等比数列．
解答：解：（1）（4分）
猜想（6分）
（2）证明：
，
∴
又∵a₁=2-S₁=2-a₁，
∴（12分）
点评：本题考查的知识点是等比关系的确定及归纳推理，其中在确定等比数列时的关键是判断a_n，a_n-1是否为一个常数．