Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=-2n²+5n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）如果两个互不相等的正整数n₁，n₂满足

n1+n2

2

=q（q为正整数），试比较

Sn1+Sn2

2

与S_q的大小，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用公式 an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

可求出数列{a_n}的通项a_n．
（2）欲比较

Sn1+Sn2

2

与S_q的大小，利用作差法，只须比较

Sn1+Sn2

2

-S_q与0的大小即可，作差后结合配方法即可得到证明．

解答：解：（1）当n=1时，a₁=3，--------------1’
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-2n²+5n-[-2（n-1）²+5（n-1）]=-4n+7---------------3’
当n=1时满足通项公式，∴a_n=-4n+7---------4’
（2）∵n1≠n2，

n1+n2

2

=q，
∴

Sn1+Sn2

2

-Sq=

1

2

(-2

n

2 1

+5n1-2

n

2 2

+5n2)-(-2q2+5q)----6’
=

1

2

[-2(

n

2 1

+

n

2 2

)+10q]+2q2-5q=-(

n

2 1

+

n

2 2

)+2(

n1+n2

2

)2=-

1

2

[2

n

2 1

+2

n

2 2

-(n1+n2)2]=

1

2

(n1-n2)2＜0-------10’
∴

Sn1+Sn2

2

＞Sq-----------12’

点评：本题考查等差数列的通项公式、数列的性质和应用、作差法等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．