Question

已知函数，
（1）当且时，证明：对，；
（2）若，且存在单调递减区间，求的取值范围；
（3）数列，若存在常数，，都有，则称数列有上界。已知，试判断数列是否有上界．

Answer 1

（1），，解得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以在处取最大值，即，，即
（2）（3）数列无上界

试题分析：⑴当且时，设，，……1分，解得。
当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以在处取最大值，即，，即
（2）若，=
所以
因为函数存在单调递减区间，所以在上有解
所以在上有解
所以在上有解，即使得
令，则，研究，当时，
所以
（3）数列无上界
，设，，由⑴得，，所以，，取为任意一个不小于的自然数，则，数列无上界。
点评：不等式恒成立问题常转化为求函数最值问题，第二问将函数存在减区间首先转化为导数小于零有解，进而转化为求函数最值，通过本题要加强不等式与函数的互相转化的思维思路的培养与训练