Question

已知棱长为1的正方体AC₁，E，F分别是B₁ C₁和C₁D₁的中点

（1）求点A₁到平面BDFE的距离

（2）求直线A₁D与平面BDFE所成的角

Answer 1

建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz，则B（1，1，0），E（1/2，1，1），F（0，1/2，1），设=（x，y，z）是平面BDFE的法向量，由⊥，⊥，=（1，1，0），=（0，1/2，1）得：  ·= x+y=0      ·=1/2 y+ z=0

所以：x= - y    z= - y/2    令y=1，得=（-1，1，1/2），设点A在平面BDFE上的射影为H，连结A₁D，A₁D是平面BDFE的斜线段，则：     cos﹤，﹥=

所以| cos﹤，﹥=1   所以点A₁到平面BEFE的距离为1

（3）由（2）知∠D A₁H=45°，∠A₁DH是直线A₁D与平面BDFE所成角，且∠D A₁H+∠A₁DH=90°    所以∠A₁DH=45°