Question

【题目】已知函数，其中，.

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调减区间为；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）求出函数的定义域，再求导，根据导数和函数的单调性的关系即可求出，

（Ⅱ）不等式恒成立转化为，则问题转化为恒成立时，求的取值范围，根据导数和函数的单调性的关系即可求出．

（Ⅰ）函数的定义域为，.

当时，，函数在区间上是增函数；

当时，由，得；由，得，

所以函数在区间上是增函数，在区间上是减函数.

综上：当时，的单调递增区间为，当时，的单调递增区间为，单调减区间为.

（Ⅱ）不等式.

当时，取，，不合题意；

当时，令，则问题转化为恒成立时，求的取值范围.

由于.令，得，

当时，，当时，，

所以，函数的最大值为

，

于是由题意知，解得，

故实数的取值范围是.