Question

已知函数f（x）=x³-ax|x+a|，x∈[0，2]
（1）当a=-1时，求函数f（x）的最大值；
（2）当函数f（x）的最大值为0时，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=-1时，f（x）=x²+x|x-1|，x∈[0，2]，当0＜x＜1时，f（x）=x³-x²+x，f′（x）=3x²-2x+1=3(X-

1

3

)2+

2

3

＞0，当1＜x＜2时，f（x）=x³+x²-x，f′（x）=3x²+2x-1=（3x-1）（x+1）＞0，由此能求出函数f（x）的最大值．
（2）当a≤0时，f（0）=0，当0＜x≤2时f（x）＞0，此时不符合题设；当a＞0时，f（x）=x³-ax²+a²x，f′（x）=3x²-2ax-a²=（3x+a）（x-a），由0≤x≤2，知3x+a＞0．由此能求出实数a的取值范围．

解答：解：（1）当a=-1时，f（x）=x²+x|x-1|，x∈[0，2]，
当0＜x＜1时，f（x）=x³-x²+x，
f′（x）=3x²-2x+1=3(X-

1

3

)2+

2

3

＞0，
当1＜x＜2时，f（x）=x³+x²-x，
f′（x）=3x²+2x-1=（3x-1）（x+1）＞0，
又函数f（x）是连续函数，所以f（x）在[0，2]上是增函数，（4分）
∴函数f（x）的最大值f（x）_max=f（2）=10         （6分）
（2）1°当a≤0时，f（0）=0，当0＜x≤2时f（x）＞0，此时不符合题设，（8分）
2°当a＞0时，f（x）=x³-ax²+a²x，
f′（x）=3x²-2ax-a²=（3x+a）（x-a），
∵0≤x≤2∴3x+a＞0
（i）当a≥2时，f′（x）≤0，故f（x）在[0，2]上是减函数，
∴此时f（x）_max=f（0）=0，符合题设    （11分）
（ii）当0＜a＜2时，由f′（x）＞0，得a＜x＜2，
由f′（x）＜0，得0＜x＜a．
故 f（x）在[0，a]上是减函数，在在[a，2]上是增函数
∴此时f（x）_max=max{f（0），f（2）}=0，
又f（0）=0，
∴f（2）≤0，即8-2a|a+2|≤0，
a²+2a-4≥0，
解之得a≤-1-

5

或a≥

5

-1，
∴

5

-1≤a＜2，
综上所述：所求的实数a的取值范围为[

5

-1，+∞）．

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最大值，考查去运算求解能力，考查论证推理能力，综合性强，难度大，是高考的重点，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．