题目内容
【题目】已知函数
.
（Ⅰ）当a=3时，求函数
在
上的最大值和最小值；
（Ⅱ）求函数的定义域，并求函数
的值域．（用a表示）
【答案】（Ⅰ）
，
；（Ⅱ）
的定义域为
，
的值域为
．
【解析】
试题（Ⅰ）当
时，求函数在
上的最大值和最小值，令
，变形得到该函数的单调性，求出其值域，再由
为增函数，从而求得函数在上的最大值和最小值；（Ⅱ）求函数的定义域，由对数函数的真数大于0求出函数的定义域，求函数的值域，函数的定义域，即的定义域，把的解析式代入后整理，化为关于
的二次函数，对
分类讨论，由二次函数的单调性求最值，从而得函数的值域．
试题解析：（Ⅰ）令
，显然
在
上单调递减，故
，
故
，即当时，，（在
即
时取得）
，（在
即
时取得）
(II)由
的定义域为，由题易得：
，
因为
，故的开口向下，且对称轴
，于是：
当
即
时，的值域为（
；
当
即
时，的值域为
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【题目】改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
支付方式 | （0,1000] | （1000,2000] | 大于2000 |
仅使用A | 18人 | 9人 | 3人 |
仅使用B | 10人 | 14人 | 1人 |
（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；
（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．
