Question

【题目】已知椭圆的焦距为2，过点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设椭圆的右焦点为，定点，过点且斜率不为零的直线与椭圆交于，两点，以线段为直径的圆与直线的另一个交点为，试探究在轴上是否存在一定点，使直线恒过该定点，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；定点为

【解析】

（1）首先根据题意列出方程组，再解方程组即可.

（2）首先设，，的方程为：.联立，利用韦达定理，结合求出直线，再令即可得到直线恒过的定点.

（1）由题知，解得，，

所以椭圆的方程为.

（2）设，，因为直线的斜率不为零，令的方程为：

由得

则，，

因为以为直径的圆与直线的另一个交点为，

所以，则.

则，故的方程为：.

令，则

而，，

所以，

所以.

故直线恒过定点，且定点为