Question

已知函数f（x）=x²-（a+2）x+alnx．其中常数a＞0．
（1）当a＞2时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）当a=4时，给出两类直线：6x+y+m=0与3x-y+n=0，其中m，n为常数，判断这两类直线中是否存在y=f（x）的切线，若存在，求出相应的m或n的值，若不存在，说明理由．
（3）设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x，h（x））处的切线方程为l：y=g（x），当x≠x时，若在D内恒成立，则称P为函数y=h（x）的“类对称点”，当a=4时，试问y=f（x）是否存在“类对称点”，若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由==，能求出当a＞2时，求函数f（x）的单调递增区间．
（2）a=4，f′（x）=2x+，故≥4-6，不存在6x+y+m=0这类直线的切线．
（3），令h（x）=f（x）-g（x），由此入手，能够求出一个“类对称点”的横坐标．
解答：解：（1）∵f（x）=x²-（a+2）x+alnx，
∴==，
∵a＞2，∴．
当0＜x＜1及x＞时，f′（x）＞0．当1＜x＜时，f′（x）＜0，
∴f（x）的增区间是（0，1），（）．
（2）a=4，f′（x）=2x+，
∵x＞0，∴≥4-6，
不存在6x+y+m=0这类直线的切线．
由得与x=4，当时，求得．
当x=4时，求得n=4ln4-20．
（3），
令h（x）=f（x）-g（x）=•（x-x）-（），
则h（x）=0，
-6）=2（x-x）（1-）=（x-x）（x-），
当时，h（x）在（x，）上单调递减．
∴x∈（）时，h（x）＜h（x）=0，从而有x∈（）时，＜0，
当时，h（x）在（）上单调递减，
∴x∈（）．
h（x）＞h（x）=0．从而有时，＜0．
∴在上不存在“类对称点”．
当x=时，，
∴h（x）在（0，+∞）上是增函数，故＞0，
x=是一个类对称点的横坐标．
点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查类对称点的求法．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，注意导数性质的灵活运用．