Question

5．已知函数f（x）=ax²-lnx+6．
（1）若函数f（x）的极值点为x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当x∈（0，+∞）时，若关于x的不等式f（x）+lnx＜x-ln（x+1）+6恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求导，根据f′（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=0，求出a的值，再根据导数的几何意义即可求出切线方程，
（2）原不等式转化为ax²＜x-ln（x+1），构造函数g（x）=x-ln（x+1），利用导数求出g（x）最小值，继而转化为ax²＜0，在x∈（（0，+∞）恒成立，求出a的取值范围即可．

解答 解：（1）f（x）=ax²-lnx+6，x＞0，
∴f′（x）=2ax-$\frac{1}{x}$，
∵f（x）的极值点为x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴f′（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=2a•$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\sqrt{2}$=0，解得a=1，
∴f′（x）=2x-$\frac{1}{x}$，
∴k=f′（1）=2-1=1，f（1）=1-0+6=7，
∴函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程y-7=x-1，即x-y+6=0，
（2）当x∈（0，+∞）时，若关于x的不等式f（x）+lnx＜x-ln（x+1）+6恒成立，
∵ax²-lnx+6+lnx＜x-ln（x+1）+6在x∈（0，+∞）恒成立，
∴ax²＜x-ln（x+1），
设g（x）=x-ln（x+1），
∴g′（x）=1-$\frac{1}{x+1}$＞0恒成立，
∴g（x）在x∈（0，+∞）为增函数，
∴g（x）＞g（0）=0，
∴ax²＜0，在x∈（0，+∞）恒成立，
∴a≤0，
实数a的取值范围为（-∞，0]．

点评 本题考查了导数的几何意义和参数的取值范围，关键是转化，构造，求最值，属于中档题．