题目内容
【题目】如图，在三棱锥
中，底面是边长为4的正三角形，
，
底面
，点
分别为
，
的中点.
（1）求证：平面
平面
；
（2）在线段
上是否存在点
，使得直线
与平面
所成的角的正弦值为
？若存在，确定点
的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】
（1）先证明
，
，可得
平面
从而平面
平面
；
（2）由题意可知
两两垂直，分别以
方向为
轴建立坐标系，求出平面
的法向量及
，代入公式可得未知量的方程，解之即可.
（1）证明：∵
，
为
的中点，
∴
又
平面
，
平面
，∴
∵
∴平面
∵平面
∴平面平面
（2）解：如图，由（1）知，，
，点，
分别为
的中点，
∴
，∴
，
，又，
∴两两垂直，分别以方向为轴建立坐标系.
则
，
，
，
，
设
，
所以
，
，设平面的法向量
，则
，
，令
，则
，
，
∴
由已知
或
（舍去）
故
故线段
上存在点
，使得直线
与平面所成的角的正弦值为
，
此时为线段的中点.
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