Question

已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，对任意x∈R均有f（x+2）=f（x）+1成立，则f（2013）+f（2014）的值为（　　）

• A、2013
• B、2013.5
• C、2014
• D、2014.5

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据奇函数f（x）的性质，以及任意x∈R都有f（x+2）=f（x）+1成立，可得f（1）和f（2）的值，再利用恒等式求出f（2013）、f（2014）的值，即可得f（2013）+f（2014）的值．

解答： 解：∵函数f（x）为定义在R上的奇函数，
∴f（-1）=-f（1）…①
又∵对任意x∈R都有f（x+2）=f（x）+1成立，
令x=-1，f（1）=f（-1）+1…②
由①②得，f（1）=0.5，
∵函数f（x）为定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，
代入f（x+2）=f（x）+1，得f（2）=f（0）+1=1，
∴f（2013）=f（2011）+1=f（2009）+2=…=f（1）+1006=1006.5，
f（2014）=f（2012）+1=f（2010）+2=…=f（2）+1006=1007，
∴f（2013）+f（2014）=1006.5+1007=2013.5，
故选：B．

点评：本题考查函数奇偶性的性质，抽象函数及其应用，利用赋值法求出f（1）和f（2）是解答的关键．