Question

【题目】在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠CDA=∠BAD=90°，AD=DC= ，AB=PA=2 ，且E为线段PB上的一动点．
（1）若E为线段PB的中点，求证：CE∥平面PAD；
（2）当直线CE与平面PAC所成角小于 ，求PE长度的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）证明：取PA的中点F，连结EF，DF，

则EF∥AB，EF= AB，

又DC∥AB，DC= AB，

∴EF∥CD，EF=DC，

∴四边形EFDC是平行四边形，

∴CE∥DF，又CE平面PAD，DF平面PAD，

∴CE∥平面PAD

（2）解：∵AD=CD= ，AD⊥CD，∴AC=2，

又AB=2 ，∠BAC=45°，∴BC=2，

∴AC⊥BC，

又PA⊥平面ABCD，BC平面ABCD，

∴PA⊥BC，又PA∩AC=A，

∴BC⊥平面PAC，

过E作EM∥BC，则EM⊥平面PAC，

∴∠PCE为CE与平面PAC所成的角，即∠PCE＜ ．

∵PA=2 ，AC=2，∴PC=2 ，BC=2，PB=4，

∴∠BPC= ，

∴当∠PCE= 时，CE⊥PB，此时PE=3，

∴当∠PCE 时，PE＜3．

【解析】（1）取PA的中点F，连结EF，DF，证明四边形EFDC是平行四边形得出CE∥DF，故而CE∥平面PAD；（2）证明BC⊥平面PAC，可知∠PCE为CE与平面PAC所成的角，利用余弦定理得出∠BPC，利用勾股定理得出PE的最大值即可得出PE的范围．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定和空间角的异面直线所成的角的相关知识点，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则才能正确解答此题．