Question

已知函数f(x)=

4

3

x3+ax-1（a∈R），其中f'（x）是f（x）的导函数．
（Ⅰ）若曲线f（x）在点（1，f（x））处的切线与直线2x-y+1=0平行，求a的值；
（Ⅱ）设g（x）=f'（x）-ax-4，若对一切|a|≤1，都有g（x）＜0恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（I）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率与直线2x-y+1=0的斜率相等，从而求出a的值；
（II）先求出函数g（x）的解析式，令φ（a）=（1-x）a+4x²-4，因为对一切|a|≤1，都有g（x）＜0恒成立等价于对一切|a|≤1，都有φ（a）＜0恒成立，然后建立不等关系，解之即可求出x的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=4x²+a，
f'（1）=4+a=2，
所以a=-2．

（Ⅱ）g（x）=f'（x）-ax-4=4x²-ax+a-4，
令φ（a）=（1-x）a+4x²-4，
因为对一切|a|≤1，
都有g（x）＜0恒成立等价于对一切|a|≤1，都有φ（a）＜0恒成立．
所以

φ(-1)＜0 φ(1)＜0

即

4x2-x-3＜0 4x2+x-5＜0

解得-

3

4

＜x＜1．
则当x∈(-

3

4

，1)时，对一切|a|≤1，都有g（x）＜0恒成立．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及恒成立问题，同时考查了转化与划归的思想，属于基础题．