Question

已知f(x)＝x³＋bx²＋cx＋d在(－∞，0)上是增函数，在[0，2]上是减函数，且方程f(x)＝0有三个根，它们分别为α，2，β．

(Ⅰ)求c的值；

(Ⅱ)求证：f(1)≥2；

(Ⅲ)求|α－β|的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解(Ⅰ)(x)＝3x2＋2bx＋c， 　　∵f(x)在(－∞，0)上是增函数，在[0，2]上是减函数， 　　∴当x＝0时f(x)取到极大值，　　∴(0)＝0，　　∴c＝0． 　　(Ⅱ)∵f(2)＝0，　　∴d＝－4(b＋2) 　　(x)＝3x2＋2bx＝0的两个根分别为x1＝0，x2＝－， 　　∵函数f(x)在[0，2]上是减函数，∴x2＝－≥2，∴b≤－3． 　　∴f(1)＝b＋d＋1＝b－4(b＋2)＋1＝－7－3b≥2． 　　(Ⅲ)∵α，2，β是方程f(x)＝0的三根，可设f(x)＝(x－α)(x－2)(x－β)， 　　∴f(x)＝x3－(2＋α＋β)x2＋(2α＋2β＋αβ)x－2αβ， 　　∴　　∴ 　　∴|α－β|＝＝＝＝．　　∵b≤－3，∴|α－β|≥3．