Question

在数列{a_n}中，已知a₁=1，记S_n为数列的前n项和，且当n≥2时，a_n，S_n，Sn-

1

2

成等比数列，n∈N，求S_n．

Answer 1

分析：由题意可得 Sn2=a_n•（Sn-

1

2

）=（S_n-S_n-1）•（Sn-

1

2

），化简可得

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，故{

1

Sn

}是以1位首项，以2为公差的等差数列，再根据等差数列的通项公式求得

1

Sn

的解析式，从而求得S_n的解析式．

解答：解：在数列{a_n}中，已知a₁=1，当n≥2时，a_n，S_n，Sn-

1

2

成等比数列，n∈N，
故有 Sn2=a_n•（Sn-

1

2

）=（S_n-S_n-1）•（Sn-

1

2

）=Sn2-

1

2

S_n-S_n•S_n-1+

1

2

S_n-1．
化简可得 S_n-1-S_n=2S_n•S_n-1，两边同时除以S_n•S_n-1 可得

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，故{

1

Sn

}是以1位首项，以2为公差的等差数列．
故

1

Sn

=1+（n-1）2=2n-1，
∴S_n=

1

2n-1

．

点评：本题主要考查等比数列的定义，等差数列的通项公式的应用，属于中档题．